Uma função racional é uma equação que assume a forma y = N (x) / D (x) onde N e D são polinômios. A tentativa de esboçar um gráfico preciso à mão pode ser uma revisão abrangente de muitos dos tópicos mais importantes de matemática do ensino médio, desde álgebra básica até cálculo diferencial. Considere o seguinte exemplo: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).
Passos
Etapa 1. Encontre a interceptação y
Simplesmente defina x = 0. Tudo, exceto os termos constantes, desaparece, deixando y = 5/2. Expressando isso como um par de coordenadas, (0, 5/2) é um ponto no gráfico. Represente graficamente esse ponto.
Etapa 2. Encontre a assíntota horizontal
Divida o denominador no numerador para determinar o comportamento de y para grandes valores absolutos de x. Neste exemplo, a divisão mostra que y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Para grandes valores positivos ou negativos de x, 17 / (8 x + 4) se aproxima de zero, e o gráfico se aproxima da reta y = (1/2) x - (7/4). Usando uma linha tracejada ou levemente desenhada, represente graficamente esta linha.
- Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, não há divisão a ser feita e a assíntota é y = 0.
- Se deg (N) = deg (D), a assíntota é uma linha horizontal na proporção dos coeficientes principais.
- Se deg (N) = deg (D) + 1, a assíntota é uma linha cuja inclinação é a razão dos coeficientes principais.
- Se deg (N)> deg (D) + 1, então para grandes valores de | x |, y vai rapidamente para o infinito positivo ou negativo como um polinômio quadrático, cúbico ou de grau superior. Nesse caso, provavelmente não vale a pena representar graficamente o quociente da divisão com precisão.
Etapa 3. Encontre os zeros
Uma função racional tem zero quando seu numerador é zero, então defina N (x) = 0. No exemplo, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. O discriminante desta quadrática é b 2 - 4 ac = 62 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Como o discriminante é negativo, N (x) e, conseqüentemente, f (x), não tem raízes reais. O gráfico nunca cruza o eixo x. Se algum zeros for encontrado, adicione esses pontos ao gráfico.
Etapa 4. Encontre as assíntotas verticais
Uma assíntota vertical ocorre quando o denominador é zero. Definir 4 x + 2 = 0 dá a linha vertical x = -1/2. Represente graficamente cada assíntota vertical com uma linha clara ou tracejada. Se algum valor de x torna N (x) = 0 e D (x) = 0, pode haver ou não uma assíntota vertical lá. Isso é raro, mas veja as dicas de como lidar com isso, se ocorrer.
Etapa 5. Observe o restante da divisão na etapa 2
Quando é positivo, negativo ou zero? No exemplo, o numerador do resto é 17, que é sempre positivo. O denominador, 4 x + 2, é positivo à direita da assíntota vertical e negativo à esquerda. Isso significa que o gráfico se aproxima da assíntota linear de cima para grandes valores positivos de x e de baixo para grandes valores negativos de x. Como 17 / (8 x + 4) nunca pode ser zero, este gráfico nunca cruza a reta y = (1/2) x - (7/4). Não acrescente nada ao gráfico agora, mas anote essas conclusões para mais tarde.
Etapa 6. Encontre os extremos locais
Um extremo local pode ocorrer sempre que N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. No exemplo, N '(x) = 4 x - 6 e D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. Expandindo, combinando termos e dividindo por 4 folhas x 2 + x - 4 = 0. A fórmula quadrática mostra raízes próximas a x = 3/2 e x = -5/2. (Eles diferem em cerca de 0,06 dos valores exatos, mas nosso gráfico não será preciso o suficiente para se preocupar com esse nível de detalhe. A escolha de uma aproximação racional decente torna a próxima etapa mais fácil.)
Etapa 7. Encontre os valores y de cada extremo local
Conecte os valores de x da etapa anterior de volta à função racional original para encontrar os valores de y correspondentes. No exemplo, f (3/2) = 1/16 ef (-5/2) = -65/16. Adicione esses pontos, (3/2, 1/16) e (-5/2, -65/16), ao gráfico. Como fizemos uma aproximação na etapa anterior, esses não são os mínimos e máximos exatos, mas provavelmente estão próximos. (Sabemos que (3/2, 1/16) está muito próximo do mínimo local. A partir da etapa 3, sabemos que y é sempre positivo quando x> -1/2 e encontramos um valor tão pequeno quanto 1/16, então, pelo menos neste caso, o erro é provavelmente menor do que a espessura da linha.)
Etapa 8. Conecte os pontos e estenda suavemente o gráfico dos pontos conhecidos às assíntotas, tomando cuidado para aproximá-los da direção correta
Tome cuidado para não cruzar o eixo x, exceto nos pontos já encontrados na etapa 3. Não cruze a assíntota horizontal ou linear, exceto nos pontos já encontrados na etapa 5. Não mude de inclinação para cima para inclinação para baixo, exceto em o extremo encontrado na etapa anterior.
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Pontas
- Algumas dessas etapas podem envolver a resolução de um polinômio de alto grau. Se você não conseguir encontrar soluções exatas por meio de fatoração, fórmulas ou outros meios, estime as soluções usando técnicas numéricas, como o método de Newton.
- Se você seguir as etapas em ordem, geralmente não é necessário usar testes de derivadas secundárias ou métodos potencialmente complicados semelhantes para determinar se os valores críticos são máximos locais, mínimos locais ou nenhum dos dois. Tente usar as informações das etapas anteriores e um pouco de lógica primeiro.
- Se você está tentando fazer isso apenas com métodos de pré-cálculo, pode substituir as etapas sobre como encontrar os extremos locais calculando vários pares adicionais (x, y) ordenados entre cada par de assíntotas. Alternativamente, se você não se importa por que funciona, não há razão para que um aluno de pré-cálculo não possa tirar a derivada de um polinômio e resolver N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0
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Em casos raros, o numerador e o denominador podem ter um fator não constante comum. Se você estiver seguindo as etapas, isso aparecerá como um zero e uma assíntota vertical no mesmo lugar. Isso é impossível e o que realmente acontece é o seguinte:
- O zero em N (x) tem multiplicidade maior do que o zero em D (x). O gráfico de f (x) se aproxima de zero neste ponto, mas é indefinido lá. Indique isso com um círculo aberto ao redor do ponto.
- O zero em N (x) e o zero em D (x) têm multiplicidade igual. O gráfico se aproxima de algum ponto diferente de zero para este valor de x, mas é indefinido aí. Novamente indique isso com um círculo aberto.
- O zero em N (x) tem multiplicidade menor que o zero em D (x). Existe uma assíntota vertical aqui.
