Como representar graficamente uma equação quadrática: 10 etapas (com imagens)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Última modificação: 2024-02-02 02:08

Quando representadas graficamente, as equações quadráticas do formulário machado² + bx + c ou a (x - h)² + k dê uma curva em forma de U suave ou reversa chamada de parábola. Fazer o gráfico de uma equação quadrática é uma questão de encontrar seu vértice, direção e, frequentemente, suas interceptações xey. Nos casos de equações quadráticas relativamente simples, também pode ser suficiente inserir uma faixa de valores xe plotar uma curva com base nos pontos resultantes. Veja a Etapa 1 abaixo para começar.

Passos

Etapa 1. Determine qual forma de equação quadrática você possui

A equação quadrática pode ser escrita em três formas diferentes: a forma padrão, a forma de vértice e a forma quadrática. Você pode usar qualquer uma das formas para representar graficamente uma equação quadrática; o processo para representar graficamente cada um é ligeiramente diferente. Se você estiver fazendo um trabalho de casa, geralmente receberá o problema em uma dessas duas formas - em outras palavras, você não poderá escolher, então é melhor entender as duas. As duas formas de equação quadrática são:

• Forma padrão.

  Nesta forma, a equação quadrática é escrita como: f (x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a não é igual a zero.

  Por exemplo, duas equações quadráticas de forma padrão são f (x) = x² + 2x + 1 e f (x) = 9x² + 10x -8.

• Forma do vértice.

  Nesta forma, a equação quadrática é escrita como: f (x) = a (x - h)² + k onde a, h e k são números reais e a não é igual a zero. A forma do vértice tem esse nome porque hek fornecem diretamente o vértice (ponto central) de sua parábola no ponto (h, k).

  Duas equações de forma de vértice são f (x) = 9 (x - 4)² + 18 e -3 (x - 5)² + 1

• Para representar graficamente qualquer um desses tipos de equações, precisamos primeiro encontrar o vértice da parábola, que é o ponto central (h, k) na "ponta" da curva. As coordenadas do vértice na forma padrão são dadas por: h = -b / 2a ek = f (h), enquanto na forma de vértice, hek são especificados na equação.

Etapa 2. Defina suas variáveis

Para ser capaz de resolver um problema quadrático, as variáveis a, b e c (ou a, h e k) geralmente precisam ser definidas. Um problema de álgebra média fornecerá uma equação quadrática com as variáveis preenchidas, geralmente na forma padrão, mas às vezes na forma de vértice.

• Por exemplo, para a equação de forma padrão f (x) = 2x² + 16x + 39, temos a = 2, b = 16 e c = 39.
• Para o vértice, forme a equação f (x) = 4 (x - 5)² + 12, temos a = 4, h = 5 ek = 12.

Etapa 3. Calcule h

Nas equações da forma de vértice, seu valor para h já é dado, mas nas equações da forma padrão, ele deve ser calculado. Lembre-se de que, para equações de forma padrão, h = -b / 2a.

• Em nosso exemplo de forma padrão (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Resolvendo, descobrimos que h = - 4.
• Em nosso exemplo de forma de vértice (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), sabemos h = 5 sem fazer nenhuma matemática.

Etapa 4. Calcule k

Tal como acontece com h, k já é conhecido nas equações da forma de vértice. Para equações de forma padrão, lembre-se de que k = f (h). Em outras palavras, você pode encontrar k substituindo cada instância de x em sua equação pelo valor que acabou de encontrar para h.

• Determinamos em nosso exemplo de forma padrão que h = -4. Para encontrar k, resolvemos nossa equação com nosso valor para h substituindo x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Etapa 7.

• Em nosso exemplo de forma de vértice, novamente, sabemos o valor de k (que é 12) sem ter que fazer nenhuma matemática.

Etapa 5. Trace seu vértice

O vértice da sua parábola será o ponto (h, k) - h especifica a coordenada x, enquanto k especifica a coordenada y. O vértice é o ponto central de sua parábola - na parte inferior de um "U" ou no topo de um "U" de cabeça para baixo. Conhecer o vértice é uma parte essencial da representação gráfica de uma parábola precisa - frequentemente, em trabalhos escolares, especificar o vértice será uma parte obrigatória de uma pergunta.

• Em nosso exemplo de forma padrão, nosso vértice estará em (-4, 7). Portanto, nossa parábola atingirá o pico de 4 espaços à esquerda de 0 e 7 espaços acima (0, 0). Devemos plotar este ponto em nosso gráfico, certificando-se de rotular as coordenadas.
• Em nosso exemplo de forma de vértice, nosso vértice está em (5, 12). Devemos traçar um ponto 5 espaços à direita e 12 espaços acima (0, 0).

Etapa 6. Desenhe o eixo da parábola (opcional)

O eixo de simetria de uma parábola é a linha que passa pelo meio e a divide perfeitamente ao meio. Ao longo deste eixo, o lado esquerdo da parábola espelhará o lado direito. Para quadráticas do formulário machado² + bx + c ou a (x - h)² + k, o eixo é uma linha paralela ao eixo y (em outras palavras, perfeitamente vertical) e passando pelo vértice.

No caso do nosso exemplo de formulário padrão, o eixo é uma linha paralela ao eixo y e passando pelo ponto (-4, 7). Embora não faça parte da própria parábola, marcar levemente essa linha em seu gráfico pode ajudá-lo a ver como a parábola se curva simetricamente

Etapa 7. Encontre a direção da abertura

Depois de descobrir o vértice e o eixo da parábola, precisamos saber se a parábola se abre para cima ou para baixo. Felizmente, isso é fácil. Se "a" for positivo, a parábola se abrirá para cima, enquanto se "a" for negativo, a parábola se abrirá para baixo (ou seja, ela será virada de cabeça para baixo).

• Para nosso exemplo de forma padrão (f (x) = 2x² + 16x + 39), sabemos que temos uma parábola se abrindo para cima porque, em nossa equação, a = 2 (positivo).
• Para o nosso exemplo de forma de vértice (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), sabemos que também temos uma parábola abrindo para cima porque a = 4 (positivo).

Etapa 8. Se necessário, encontre e plote x interceptações

Freqüentemente, em trabalhos escolares, você será solicitado a encontrar as interceptações x de uma parábola (que são um ou dois pontos onde a parábola encontra o eixo x). Mesmo que você não os encontre, esses dois pontos podem ser inestimáveis para traçar uma parábola precisa. No entanto, nem todas as parábolas têm interceptos x. Se sua parábola tem um vértice abre para cima e tem um vértice acima do eixo x ou se abre para baixo e tem um vértice abaixo do eixo x, não terá nenhuma interceptação x. Caso contrário, resolva suas interceptações x com um dos seguintes métodos:

• Basta definir f (x) = 0 e resolver a equação. Este método pode funcionar para equações quadráticas simples, especialmente na forma de vértice, mas será extremamente difícil para as mais complicadas. Veja abaixo um exemplo

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 e 13 são os interceptos x da parábola.

• Fatore sua equação. Algumas equações no machado² A forma + bx + c pode ser facilmente fatorada na forma (dx + e) (fx + g), onde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx e e × g = c. Nesse caso, suas interceptações x são os valores de x que tornam qualquer um dos termos entre parênteses = 0. Por exemplo:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Nesse caso, sua única interceptação x é -1 porque definir x igual a -1 tornará qualquer um dos termos fatorados entre parênteses igual a 0.

• Use a fórmula quadrática. Se você não puder resolver facilmente suas interceptações x ou fatorar sua equação, use uma equação especial chamada fórmula quadrática projetada para esse propósito. Se ainda não estiver, coloque sua equação na forma de machado² + bx + c, em seguida, conecte a, b e c na fórmula x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac)) / 2a. Observe que isso geralmente fornece duas respostas para x, o que é normal - isso significa apenas que sua parábola tem duas interceptações x. Veja abaixo um exemplo:

  • -5x² + 1x + 10 é conectado à fórmula quadrática da seguinte forma:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
  • x = (13,18 / -10) e (-15,18 / -10). As interceptações x da parábola estão em aproximadamente x = - 1.318 e 1.518
  • Nosso exemplo de formulário padrão anterior, 2x² + 16x + 39 é conectado à fórmula quadrática da seguinte maneira:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
  • Como encontrar a raiz quadrada de um número negativo é impossível, sabemos que nenhum x intercepta existem para esta parábola particular.

Etapa 9. Se necessário, encontre e plote a interceptação y

Embora muitas vezes não seja necessário encontrar a interceptação y de uma equação (o ponto em que a parábola passa pelo eixo y), talvez seja necessário, especialmente se você estiver na escola. Esse processo é bastante fácil - apenas defina x = 0 e, em seguida, resolva sua equação para f (x) ou y, que fornece o valor de y no qual sua parábola passa pelo eixo y. Ao contrário das interceptações x, as parábolas padrão podem ter apenas uma interceptação y. Nota - para equações de forma padrão, a interceptação y está em y = c.

• Por exemplo, conhecemos nossa equação quadrática 2x² + 16x + 39 tem uma interceptação y em y = 39, mas também pode ser encontrado da seguinte maneira:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. A interceptação y da parábola está em y = 39.

    Conforme observado acima, a interceptação de y está em y = c.

• Nosso vértice forma a equação 4 (x - 5)² + 12 tem uma interceptação y que pode ser encontrada da seguinte forma:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. A interceptação y da parábola está em y = 112.

Etapa 10. Se necessário, plote pontos adicionais e, a seguir, represente graficamente

Agora você deve ter um vértice, direção, interceptação (ões) xe, possivelmente, uma interceptação y para sua equação. Neste ponto, você pode tentar desenhar sua parábola usando os pontos que você tem como referência ou pode encontrar mais pontos para "preencher" sua parábola de modo que a curva que você desenhou seja mais precisa. A maneira mais fácil de fazer isso é simplesmente inserir alguns valores x em cada lado de seu vértice e, em seguida, plotar esses pontos usando os valores y obtidos. Freqüentemente, os professores exigem que você obtenha um certo número de pontos antes de desenhar sua parábola.

• Vamos revisitar a equação x² + 2x + 1. Já sabemos que sua única interceptação x está em x = -1. Como ele só toca a interceptação x em um ponto, podemos inferir que seu vértice é a interceptação x, o que significa que seu vértice é (-1, 0). Efetivamente, temos apenas um ponto para esta parábola - nem de perto o suficiente para desenhar uma boa parábola. Vamos encontrar mais alguns para garantir que desenhamos um gráfico preciso.

  • Vamos encontrar os valores de y para os seguintes valores de x: 0, 1, -2 e -3.
  • Para 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Nosso ponto é (0, 1).

  • Para 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Nosso ponto é (1, 4).

  • Para -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Nosso ponto é (-2, 1).

  • Para -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Nosso ponto é (-3, 4).

  • Plote esses pontos no gráfico e desenhe sua curva em forma de U. Observe que a parábola é perfeitamente simétrica - quando seus pontos de um lado da parábola estão em números inteiros, você geralmente pode economizar algum trabalho simplesmente refletindo um determinado ponto no eixo de simetria da parábola para encontrar o ponto correspondente do outro lado da parábola.

Vídeo - Ao usar este serviço, algumas informações podem ser compartilhadas com o YouTube

Pontas

• Observe que em f (x) = ax² + bx + c, se b ou c for igual a zero, esses números desaparecem. Por exemplo, 12x² + 0x + 6 torna-se 12x² + 6 porque 0x é 0.
• Arredonde os números ou use frações conforme o seu professor de álgebra mandar. Isso o ajudará a representar graficamente suas equações quadráticas de maneira adequada.