Uma parábola é um gráfico de uma função quadrática e é uma curva suave em forma de "U". As parábolas também são simétricas, o que significa que podem ser dobradas ao longo de uma linha de modo que todos os pontos de um lado da linha de dobra coincidam com os pontos correspondentes do outro lado da linha de dobra. A linha de dobra, chamada de eixo de simetria, é a linha vertical que passa pelo vértice. Qualquer ponto na parábola é equidistante de um ponto fixo (o foco) e de uma linha reta fixa (a diretriz). Para representar graficamente uma parábola, você precisa encontrar seu vértice, bem como vários pontos em cada lado do vértice, a fim de marcar o caminho que os pontos percorrem.
Passos
Parte 1 de 2: Representando graficamente uma parábola
Etapa 1. Compreenda as partes de uma parábola
Você pode receber algumas informações antes de começar e conhecer a terminologia o ajudará a evitar etapas desnecessárias. Aqui estão as partes da parábola que você precisa saber:
- O foco. Um ponto fixo no interior da parábola que é usado para a definição formal da curva.
- A diretriz. Uma linha reta e fixa. A parábola é o local (série) de pontos em que qualquer ponto está à mesma distância do foco e da diretriz. (Veja o diagrama acima.)
- O eixo de simetria. Esta é uma linha reta que passa pelo ponto de viragem ("vértice") da parábola e é equidistante dos pontos correspondentes nos dois braços da parábola.
- O vértice. O ponto onde o eixo de simetria cruza a parábola é chamado de vértice da parábola. Se a parábola se abre para cima ou para a direita, o vértice é um ponto mínimo da curva. Se abrir para baixo ou para a esquerda, o vértice é um ponto máximo.
Etapa 2. Conheça a equação de uma parábola
A equação geral de uma parábola é y = ax2+ bx + c. Também pode ser escrito na forma ainda mais geral y = a (x - h) ² + k, mas vamos nos concentrar aqui na primeira forma da equação.
- Se o coeficiente a na equação for positivo, a parábola se abre para cima (em uma parábola orientada verticalmente), como a letra "U", e seu vértice é um ponto mínimo. Se a for negativo, a parábola se abre para baixo e tem um vértice em seu ponto máximo. Se você tiver problemas para se lembrar disso, pense da seguinte maneira: uma equação com um valor a positivo parece um sorriso; uma equação com um valor negativo parece uma carranca.
- Digamos que você tenha a seguinte equação: y = 2x2 -1. Esta parábola terá o formato de um "U" porque o valor de a (2) é positivo.
- Se a equação tiver um termo y ao quadrado em vez de um termo x ao quadrado, a parábola será orientada horizontalmente e aberta para os lados, para a direita ou esquerda, como um "C" ou um "C" invertido. Por exemplo, a parábola y2 = x + 3 abre para a direita, como um "C".
Etapa 3. Encontre o eixo de simetria
Lembre-se de que o eixo de simetria é a linha reta que passa pelo ponto de viragem (vértice) da parábola. No caso de uma parábola vertical (abrindo para cima ou para baixo), o eixo é igual à coordenada x do vértice, que é o valor x do ponto onde o eixo de simetria cruza a parábola. Para encontrar o eixo de simetria, use esta fórmula: x = -b / 2a.
- No exemplo acima (y = 2x² -1), a = 2 eb = 0. Agora você pode calcular o eixo de simetria inserindo os números: x = -0 / (2) (2) = 0.
- Neste caso, o eixo de simetria é x = 0 (que é o eixo y do plano de coordenadas).
Etapa 4. Encontre o vértice
Depois de saber o eixo de simetria, você pode inserir esse valor em x para obter a coordenada y. Essas duas coordenadas darão a você o vértice da parábola. Neste caso, você conectaria de 0 a 2x2 -1 para obter a coordenada y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. O vértice é (0, -1) e a parábola cruza o eixo y em -1.
As coordenadas do vértice às vezes são conhecidas como (h, k). Nesse caso, h é 0 e k é -1. A equação da parábola pode ser escrita na forma y = a (x - h) ² + k. Nesta forma, o vértice é o ponto (h, k), e você não precisa fazer nenhuma matemática para encontrar o vértice além de interpretar o gráfico corretamente
Etapa 5. Configure uma tabela com os valores escolhidos de x
Crie uma tabela com valores específicos de x na primeira coluna. Esta tabela fornecerá as coordenadas de que você precisa para representar graficamente a equação.
- O valor médio de x deve ser o eixo de simetria no caso de uma parábola "vertical".
- Você deve incluir pelo menos dois valores acima e abaixo do valor médio de x na tabela por uma questão de simetria.
- Neste exemplo, coloque o valor do eixo de simetria (x = 0) no meio da tabela.
Etapa 6. Calcule os valores das coordenadas y correspondentes
Substitua cada valor de x na equação da parábola e calcule os valores correspondentes de y. Insira esses valores calculados de y na tabela. Neste exemplo, os valores de y são calculados da seguinte forma:
- Para x = -2, y é calculado como: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Para x = -1, y é calculado como: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Para x = 0, y é calculado como: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Para x = 1, y é calculado como: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Para x = 2, y é calculado como: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Etapa 7. Insira os valores calculados de y na tabela
Agora que você encontrou pelo menos cinco pares de coordenadas para a parábola, está quase pronto para representá-la. Com base no seu trabalho, você agora tem os seguintes pontos: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Lembre-se de que a parábola é refletida (simétrica) em relação ao eixo de simetria. Isso significa que as coordenadas y dos pontos diretamente no eixo de simetria entre si serão as mesmas. As coordenadas y para as coordenadas x -2 e +2 são 7; as coordenadas y para as coordenadas x -1 e +1 são 1 e assim por diante.
Etapa 8. Plote os pontos da tabela no plano de coordenadas
Cada linha da tabela forma um par de coordenadas (x, y) no plano de coordenadas. Represente graficamente todos os pontos usando as coordenadas fornecidas na tabela.
- O eixo x é horizontal; o eixo y é vertical.
- Os números positivos no eixo y estão acima do ponto (0, 0) e os números negativos no eixo y estão abaixo do ponto (0, 0).
- Os números positivos no eixo x estão à direita do ponto (0, 0) e os números negativos no eixo x estão à esquerda do ponto (0, 0).
Etapa 9. Conecte os pontos
Para representar graficamente a parábola, conecte os pontos traçados na etapa anterior. O gráfico neste exemplo será semelhante a um U. Conecte os pontos usando linhas ligeiramente curvas (em vez de retas). Isso criará a imagem mais precisa da parábola (que é pelo menos ligeiramente curvada em todo o seu comprimento). Em ambas as extremidades da parábola, você pode desenhar setas apontando para longe do vértice, se desejar. Isso indicará que a parábola continua indefinidamente.
Parte 2 de 2: Deslocando o gráfico de uma parábola
Se você quiser um atalho para deslocar uma parábola sem ter que encontrar seu vértice novamente e re-plotar vários pontos nele, você precisará entender como ler a equação de uma parábola e aprender a deslocá-la vertical ou horizontalmente. Comece com a parábola básica: y = x2. Este tem seu vértice em (0, 0) e abre para cima. Os pontos nele incluem (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) e (2, 4). Você pode mudar uma parábola com base em sua equação.
Etapa 1. Mude uma parábola para cima
Considere a equação y = x2 +1. Isso muda a parábola original 1 unidade para cima. O vértice agora é (0, 1) em vez de (0, 0). Ele manterá a forma exata da parábola original, mas cada coordenada y será deslocada para cima 1 unidade. Portanto, em vez de (-1, 1) e (1, 1), plotamos (-1, 2) e (1, 2).
Etapa 2. Desloque uma parábola para baixo
Pegue a equação y = x2 -1. Estamos deslocando a parábola original 1 unidade para baixo, de modo que o vértice agora seja (0, -1) em vez de (0, 0). Ela ainda terá a mesma forma da parábola original, mas cada coordenada y será deslocada para baixo 1 unidade. Portanto, em vez de (-1, 1) e (1, 1), por exemplo, plotamos (-1, 0) e (1, 0).
Etapa 3. Desloque uma parábola para a esquerda
Considere a equação y = (x + 1)2. Isso muda a parábola original uma unidade para a esquerda. O vértice agora é (-1, 0) em vez de (0, 0). Ele retém a forma da parábola original, mas cada coordenada x é deslocada uma unidade para a esquerda. Em vez de (-1, 1) e (1, 1), por exemplo, plotamos (-2, 1) e (0, 1).
Etapa 4. Desloque uma parábola para a direita
Considere a equação y = (x - 1)2. Esta é a parábola original deslocada uma unidade para a direita. O vértice agora é (1, 0) em vez de (0, 0). Ele retém a forma da parábola original, mas cada coordenada x será deslocada para a unidade certa. Em vez de (-1, 1) e (1, 1), por exemplo, plotamos (0, 1) e (2, 1).
